ADsP 3과목 4-4 시계열 분석 | 정리📝

시계열 분석

시계열이 정상인지 판단하기 위해 폭발적인 추세를 보이거나 시간에 따라 분산이 변화하는지 관찰해야 함
외부인자와 관련해 계절적인 패턴, 추세와 같은 요소를 설명할 수 있는 모델을 결정하는 것

• 시계열 데이터: 시간의 흐름에 따라 관찰한 관측값
  • 시계열 데이터의 모델링은 다른 분석모형과 같이 탐색 목적과 예측 목적으로 나눌 수 있음
• 정상성(Stationarity): 시간의 흐름에 따라 통계적 특성(분산, 평균)이 변하지 않는 성질
  • 약정상성(시차에만 의존하는 공분산)
    : 모든 시점에 기댓값과 분산이 일정하고 자기 공분산은 시차에만 의존
  • 정상 시계열은 어떤 일정한 값을 중심으로 일정한 변동 폭을 가짐
  • 안정적 시계열: 시간의 추이와 관계 없이 평균, 분산이 불변하여, 변했다고 해도 다시 평균으로 회귀하는 경향을 보임
• 비정상성 시계열은 통계 분석이 어려워 정상 시계열로 변환해 줘야함 (대부분 비정상 시계열)
  • 차분(differencing): 시점 간 변화량 (평균이 일정하지 않을 때)
  • 변환: 로그 변환, Box-cox 변환 등 (분산이 일정하지 않을 때)

 

시계열 데이터 분석 프로세스

1. 시간 그래프 그리기
2. 추세와 계절성 제거
3. 잔차 예측
4. 잔차에 대한 모델 적합하기
5. 예측된 잔차에 추세와 계절성을 더해 미래 예측

 

시계열 분석 기법

• 이동평균법: 계절, 불규칙 변동을 제거하고, 추세와 순환변동만 가진 시계열 자료로 변환하는 평활법
• 지수평활법: 시간의 흐름에 따라 최근 시계열에 더 많은 가중치를 부여하여 미래를 예측하는 방법
  • 단순지수평활법: 추세나 계절성이 없어 평균이 변화하는 시계열에 사용하는 방법
  • 이중지수평활법: 평균을 평활하는 모수와 함께 추세를 나타내는 식을 다른 모수로 평활하는 방법

 

시계열 분해: 시계열을 몇 가지 요인으로 분해하여 분석하는 방법론

• 추세(Trend): 시간(장기)에 따른 값의 증가/감소
  확률과정의 기댓값으로 선형적 형태, 지수적 형태 등이 있음
• 계절성(Seasonality): 일정 빈도로 반복되는 패턴(단기간 동안 주기적)
• 주기(Cycle, 순환): 일정하지 않은 빈도로 반복되는 패턴
  경제적 · 자연적 이유 없이 알려지지 않은 주기를 갖고 변하는 자료
• 잔차(Residual, 불규칙): 추세/계절성/주기 등의 요인을 제거하고 남은 요인

Y = T + S + C + I : 시계열을 덧셈이나 곱셈으로 분해하기도 함

 

 

시계열 모형

• 백색잡음(White Noise): 서로 독립이고 동일한 분포를 따르는 확률변수들의 계열로 구성된 확률과성으로서 평균이 0을 따름
  평균 0 : 백색잡음에 대한 합이 0에 수렴함
  잡음은 무작위적인 변동으로 원인이 알려져 있지 않음
• 이동평균(Moving Average)
  $Y_t=ε_t+ θ_1ε_{t−1}+θ_2ε_{t−2}+⋯+θ_qε_{t−q}$
  
  • 시점이 다른 백색잡음의 비선형 결합으로 이루어짐
  • 시계열 데이터의 비선형 결합
  • 항상 정상성을 만족하고, 일정한 주기와 패턴을 가짐
  • ACF의 절단점을 통해 모형의 차수($q$)를 판단
• 자기회귀(Auto-Regressive): 이전 시점의 자료값에 의한 선형결합
  $Y_t=ϕ_1Y_{t−1}+ϕ_2Y_{t−2}+⋯+ϕ_pY_{t−p}+ε_t$
  
  • 현재($t$) 시점의 데이터가 $p$ 시점 이전 ($t-p$)의 데이터로부터 영향을 받는 모형
  • $ϕ$ : 일종의 회귀계수
  • $ε_t$ : 백색잡음 과정(White Noise) 평균 0, 일정한 분산, 시간의 흐름에 따른 상관성 없음
  • PACF의 절단점의 시점을 통해 AR 모형의 차수($p$)를 판단
• 자기회귀 이동평균(Auto-Regressive Moving Average)
• 자기회귀 누적 이동평균(Auto-Regressive Integrated Moving Average) (ARIMA 모형)
  : $d$번 차분한 시계열이 정상성을 띠고 ARMA($p, q$) 모형을 따를 때, 원 시계열을 **ARIMA($p, d, q$)**로 표현
  ex) ARIMA(1, 1, 1)을 따르는 시계열 Y는 d=1번 차분 후 ARMA(1, 1)을 따르는 정상 시계열이 됨
  
  • 가장 일반적인 모형 (비정상성 시계열 모형)
  • p = 0 : IMA($d, q$) —차분→ MA($q$)
  • d = 0 : ARMA($p, q$)
  • q = 0 : ARI($p, d$)
  파라미터($p, q$) 추론
  • 자기회귀 = AR(p)
    • ACF : 지수적 감소
    • PACF : $p+1$ 시점부터 절단 (0으로 수렴)
  • 이동평균 = MA(q)
    • ACF : $q+1$ 시점부터 절단 (0으로 수렴)
    • PACF : 지수적 감소

 

ACF와 PACF

자기 상관성(Auto-Correlation): 확률변수 $X$의 서로 다른 두 시점의 관측치 사이에 존재하는 상관성

• ACF(자기 상관함수): 자기 상관성을 나타내는 상관계수
  시간의 흐름에 따른 변수 간의 상관관계 변화
  • 이동평균(MA) 차수(order) 판단에 쓰임
• PACF(편자기상관함수): 특정 시차가 아닌 다른 변수의 영향을 제거한 시차에 따른 상관계수
  (부분 자기 상관계수)
  두 시계열 확률변수 간에 다른 시점의 확률변수 영향력은 통제하고 상관관계만 보여줌
  • 자기회귀(AR) 차수(order) 판단에 쓰임

    

    
    ACF: 시차 안으로 들어가기 전까지 / PACF: 시차 밖으로 튀어나온 거